Halaman
A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarStatistikaKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.Melalui pembelajaran pengolahan dan penyajian data berkelompok, siswa memperoleh pengalaman belajar:1. Mengolah data mentah dan memaknai hasil yang diperoleh.
histogram, poligon frekuensi, dan ogive.3. Mengantisipasi kesalahan pengambilan ke-
1. Distribusi Frekuensi 6. Median 2. Histogram 7. Modus 3. Ogive 8. Simpangan Rata-rata 4. Poligon frekuensi 9. Simpangan Baku 5. Rata-rata 10. RagamIstilah PentingBAB2
28Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
4%5 Ronald Aylmer Fisher lahir di London pada tanggal 17 Februari 1890. Fisher merupakan tokoh statistika yang menemukan banyak konsep baru dalam statistika, di antaranya adalah konsep “likelihood”, distribusi, dan variansi. Pada saat usia Fisher masih 14 tahun, ibunya meninggal karena sakit. Namun hal ini tidak mematahkan semangatnya dalam belajar. Dia memenangkan medali dalam kompetisi essay matematika yang diadakan sekolahnya dua tahun kemudian. Kejuaraan ini yang membawanya mendapatkan beasiswa ke Cambridge University untuk belajar matematika dan astronomi. Selain untuk belajar dua bidang tersebut, Fisher juga tertarik dalam biologi, khususnya bidang genetika. Kemudian dia menggabungkan ilmu statistika dan genetika dan menjadi peneliti dalam dalam bidang genetika yang dianalisa menggunakan ilmu statistika.Ketika terjadi peperangan di Inggris pada tahun 1914, Fisher ingin mendaftarkan dirinya ke dalam militer. Tes kesehatan yang dilaluinya untuk masuk militer memperlihatkan hasil yang bagus kecuali untuk penglihatannya dan akhirnya Fisher ditolak untuk masuk militer. Hal ini yang kemudian
dan akhirnya menjadi peneliti terkenal dalam bidang statistika dan genetika.Sumber: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fisher.html65 +
#
berkarya dalam bidang yang diminati.Kegagalan dalam suatu bidang bukan berarti kegagalan dalam bidang lainnya. Kegagalan merupakan langkah awal kesuksesan dalam bidang lainnya.
Matematika29DataPenyebaran DataPemusatan DataPenyajianSimpangan BakuRagamSimpanganRata-rataNilai Tengah (Median)ModusRata-Rata (Mean)
Tabel Distribusi FrekuensiOgivePoligon FrekuensiHistogram B. Diagram Alur Konsep
30Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKC. Materi PembelajaranLaju Pertumbuhan Penduduk IndonesiaSumber: http://www.beritasatu.com/nasional/448693-tahun-2035-penduduk-indonesia-diprediksi-3057-juta.html Sebagian penduduk IndonesiaSejak kemerdekaan Republik Indonesia, jumlah penduduk Indonesia telah meningkat tiga kali lipat dari 73,3 juta jiwa pada 1945 menjadi 255,5 juta jiwa pada tahun 2015. Hal ini menempatkan Indonesia pada posisi negara keempat di dunia dengan penduduk terbanyak setelah Tiongkok (1,4 miliar jiwa), India (1,3 miliar jiwa), dan Amerika Serikat (325 juta jiwa).
Matematika31Jumlah penduduk Indonesia mulai tahun 1945 sampai tahun 2015 ditampilkan pada tabel di bawah ini.3002502001501005001945 1950 1961 1971 1980 1990 2000 2010 2015( () 5 73,377,297,1119,2147,5179,4205,8268,5255,5Sumber:BPS Jumlah peduduk Indonesia 1945 - 2015 Ditinjau dari laju pertumbuhan penduduk, diagram di bawah ini memperlihatkan bahwa laju pertumbuhan penduduk Indonesia bervariasi. Mulai tahun 1945 sampai tahun 1980, laju pertumbuhan penduduk naik secara
#
sampai pada tahun 2000 dan diikuti kenaikan lagi pada 10 tahun berikutnya. 3,02,52,01,51,00,50,01945–1950" % " 1,002,102,102,302,001,441,491,381950–19611961–19711971–19801980–19901990–20002000–20102010–2015Sumber: BPS Laju pertumbuhan penduduk 1945 - 2015
32Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan menganalisa data tersebut dengan ilmu statistika, jumlah penduduk Indonesia pada 47 tahun ke depan dapat diprediksi berlipat ganda. Tentu hal ini membutuhkan upaya yang serius dari pemerintah untuk mengendalikan tingkat kelahiran sehingga menekan laju pertumbuhan penduduk pada kurun waktu 2010-2015. Namun demikian, pemerintah masih perlu memperhatikan faktor-faktor lain yang memengaruhi pertumbuhan penduduk dengan menganalisa data-data pendukung dengan ilmu statistika. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa ilmu statistika dapat digunakan sebagai alat bantu pembuat kebijakan baik tingkat daerah maupun tingkat pusat pemerintahan. Subbab 2.1 Penyajian DataKegiatan 2.1.1 Distribusi FrekuensiKetika seseorang peneliti ingin mengetahui kondisi suatu hal tidak jarang peneliti harus mengumpulkan data terlebih dahulu. Sebagai contoh, seorang peneliti ingin mengetahui kondisi jumlah penduduk Indonesia selama 20 tahun sebelumnya. Dengan demikian peneliti dapat mengumpulkan data jumlah penduduk Indonesia setiap tahunnya kemudian dapat mendiskripsikan, mendapatkan informasi yang berguna mengenai jumlah penduduk, dan bahkan dapat memprediksi keadaan jumlah penduduk Indonesia di tahun-tahun mendatang.Jika seorang peneliti akan mengumpulkan data mengenai usia seluruh siswa SMA kelas XII di kabupaten Malang. Jika data yang dikumpulkan meliputi seluruh siswa sekabupaten Malang, maka data keseluruhan tersebut disebut populasi. Di lain pihak, ketika peneliti hanya mengumpulkan data dari beberapa SMA terpilih yang mewakili semua SMA di kabupaten Malang, maka data yang diperoleh merupakan data dengan nilai perkiraan sedangkan siswa SMA yang mewakili tersebut disebut dengan sampel. Pada jenjang sebelumnya Anda sudah mempelajari tentang pengolahan data dan penyajiannya yang melibatkan jumlah data yang kecil. Bagaimana jika data yang diolah dalam jumlah besar? Jika terdapat sekelompok data yang lebih dari 30 data disajikan dengan diagram batang, bagaimana kira-kira diagram batang yang didapatkan? Pada bab ini kita berhadapan dengan data yang berukuran besar (minimal 30 data). Kita akan mempelajari bagaimana
bermakna.
Matematika33Salah satu cara pengorganisasian data yang dapat digunakan untuk mempermudah penarikan kesimpulan adalah menyajikan data mentah ke
Pada bagian ini akan dipaparkan mengenai pengolahan data ke dalam distribusi frekuensi untuk mendapatkan informasi yang berguna tentang data tersebut.Contoh Soal 2.1 Seorang peneliti melakukan survey terhadap 80 pengusaha dalam suatu pertemuan mengenai pada usia berapa mereka berani untuk memulai usahanya. Hasil survei tersebut diberikan di bawah ini. Data disajikan dalam satuan tahun.18 24 19 28 30 19 35 40 23 2126 34 27 40 38 30 21 24 22 1832 17 18 21 26 33 35 20 28 2726 34 31 37 40 17 18 18 20 3316 20 18 36 35 24 39 19 31 3126 28 19 35 31 31 28 21 23 2620 24 24 29 30 30 26 29 28 2019 28 30 32 38 40 25 25 31 21Dengan mengolah data ke dalam distribusi frekuensi, peneliti dapat menyimpulkan bahwa pengusaha yang memulai usahanya paling muda adalah 16 tahun dan yang paling tua adalah 40 tahun. Hampir setengah dari kumpulan pengusaha tersebut yang memulai usahanya di usia 20-an. Kebanyakan pengusaha memulai usahanya pada usia 26 – 30 tahun sedangkan paling sedikit pada usia 36 – 40 tahun.
34Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.2Nilai ujian akhir mata pelajaran Matematika siswa kelas XII SMA “BINTANG” dapat dilihat di bawah ini.85 67 58 75 90 44 100 78 95 64 8651 69 76 60 90 85 86 94 60 70 7078 80 80 100 65 76 92 74 68 59 8590 58 64 78 65 85 75 78 82 84 95 Informasi yang dapat diambil dari data tersebut diantaranya adalah 50% siswa dalam kelas tersebut mendapatkan nilai pada rentangan 71 – 90. Hanya ada 1 siswa yang mendapatkan nilai antara 41 – 50, sedangkan 6 siswa mendapatkan nilai istimewa, yaitu di atas 90.Contoh Soal 2.3Posyandu ”Mawar” mendata berat badan balita yang datang di pertemuan rutin pada bulan Oktober. Data berat badan (dalam kg) balita yang datang diberikan di bawah ini. 5,2 6,1 7,8 10,5 3,8 5,6 7,3 8 10,7 4,86,9 5,4 9,6 8,9 12,4 11,5 10,8 6,7 7,9 8,29,7 5,8 6,7 8,1 6,1 7 9,5 10,2 12 10Data tersebut mengungkapkan bahwa kebanyakan balita yang datang pada posyandu tersebut mempunyai berat badan 5,4 – 11 kg. Terdapat hanya 3 balita dengan berat di bawah 5,4 kg dan hanya 3 balita dengan berat badan di atas 10,5 kg.Berdasarkan hasil pengamatan ketiga contoh yang diberikan di atas, tulislah informasi-informasi atau istilah penting yang dapat Anda peroleh pada kotak yang disediakan berikut.
Matematika35Setelah mengamati ketiga contoh di atas, buatlah minimal 3 pertanyaan mengenai data dan penarikan kesimpulan yang dilakukan pada ketiga contoh tersebut. Tuliskan pertanyaan Anda pada kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Berikut merupakan pertanyaan-pertanyaan yang mungkin Anda ajukan sebelumnya.1. Bagaimana mendeskripsikan data yang diperoleh?2. Bagaimana mengolah data agar mendapat deskripsi data yang tepat?3. Bagaimana membuat distribusi frekuensi dari data mentah?4. Bagaimana mendapatkan informasi tentang data melalui distribusi frekuensi? Dengan diskusi kelompok, Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan secara bersama-sama untuk memahami lebih lanjut bagaimana memaknai suatu data melalui distribusi frekuensi. Anda juga dapat membaca atau mencari informasi dari berbagai sumber lain berupa buku teks atau sumber di internet untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang telah Anda dapatkan. Berikut diberikan contoh-contoh untuk menggambarkan pengolahan data dari data tunggal menjadi data berkelompok dengan distribusi frekuensi.
36Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.4Perhatikan data yang diberikan pada Contoh 2.1 sebelumnya. Jika data 80 usia pengusaha memulai usahanya dibagi menjadi 5 kelompok/kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi seperti di bawah ini.
% %
% 4 %16 – 2021 – 2526 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,5191521169
Distribusi frekuensi usia pengusahaInformasi-informasi mengenai data usia pengusaha dapat diperoleh dengan lebih mudah dengan distribusi frekuensi daripada hanya melihat data mentah sebelumnya.Contoh Soal 2.5Data nilai ujian akhir matematika yang disajikan pada Contoh 2.2 dapat dikelompokkan menjadi beberapa kelompok data. Jika dikelompokkan menjadi 6 kelas, maka distribusi frekuensi yang didapatkan adalah sebagai berikut.
% %
% 4 %41 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 10040,5 – 50,550,5 – 60,560,5 – 70,570,5 – 80,580,5 – 90,590,5 – 100,516911116
Distribusi frekuensi nilai ujian matematika
Matematika37Jika Anda perhatikan, deskripsi data nilai ujian akhir matematika yang dipaparkan pada Contoh 2.2 merupakan interpretasi dari distribusi frekuensi di atas.Contoh Soal 2.6Di lain pihak, jika data berat badan balita pada suatu posyandu pada Contoh 2.3 dikelompokkan menjadi 5 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi berikut ini.
% %
% 4 %3,5 – 5,35,4 – 7,27,3 – 9,19,2 – 1111,1 – 12,93,45 – 5,355,35 – 7,257,25 – 9,159,15 – 11,0511.05 – 12,9539783
Distribusi frekuensi berat badan balitaBerdasarkan distribusi frekuensi yang diperoleh, didapatkan informasi bahwa kebanyakan balita yang datang di posyandu tersebut mempunyai berat badan 5,4 – 7,2 kg. Hal ini sesuai dengan informasi yang dipaparkan pada Contoh 2.3.Coba Anda beri perhatian khusus mengenai banyak kelas, rentangan tiap kelas, batas kelas, dan frekuensi tiap kelasnya. Mungkin pertanyaan selanjutnya yang muncul di benak Anda adalah bagaimana mendapatkan frekuensi tiap kelas.Untuk mengetahui bagaimana mendapatkan frekuensi pada distribusi frekuensi, coba Anda tentukan banyaknya data pada tiap kelas berikut ini. Perhatikan data usia pengusaha yang disajikan pada Contoh 2.1. Jika data tersebut dikelompokkan menjadi 7 kelompok, maka distribusi frekuensi yang diperoleh adalah sebagai berikut. Lengkapi kolom batas kelas dan frekuensi berdasarkan data usia pengusaha pada Contoh 2.1.
38Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
% %
% 4 %16 – 19 20 – 23 24 – 27 28 – 31 32 – 35 36 – 39 40 – 43
& Distribusi Frekuensi usia pengusaha dengan 7 kelasDengan distribusi frekuensi yang diperoleh di atas, coba berikan beberapa pernyataan mengenai informasi apa saja yang dapat Anda simpulkan dari pengelompokan tersebut.Pada kolom kelas pada Tabel 2.4, kelas pertama dimulai dengan 16 sampai dengan 19. Kemudian kelas berikutnya dimulai dengan satu lebihnya dari 19, yaitu 20. Tetapi bagaimana jika pembagian kelas atau kelompok data usia pengusaha pada Contoh 2.1 seperti pada Tabel 2.5 berikut ini? Coba lengkapi kolom batas kelas dan kolom frekuensi pada distribusi frekuensi di berikut ini.
% %
% 4 %16 – 19 19 – 2222 – 2525 – 2828 – 3131 – 3434 – 3737 – 40
, Distribusi frekuensi usia pengusaha
Matematika39Setelah mengisikan kolom batas kelas dan frekuensi, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini.1. Apa yang terjadi pada kolom batas kelas?2. Apa yang terjadi pada saat pengisian kolom frekuensi?3. Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai batas atas dan batas bawah kelas dalam hubungannya dengan frekuensi?Selanjutnya perhatikan Tabel 2.4 distribusi frekuensi untuk data usia pengusaha dengan 7 kelas, panjang (rentangan) setiap kelas sama yaitu 4. Perhatikan bahwa 4 merupakan selisih batas atas kelas dengan batas bawah kelas yang sama. Sebagai contoh, 4 = 19,5 – 15,5 = 23,5 – 19,5. Pertanyaan selanjutnya yang mungkin timbul, mengapa 4 yang digunakan sebagai panjang kelas? Panjang kelas yang dibutuhkan sangat berhubungan erat dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan banyak kelas yang diinginkan dalam distribusi frekuensi. Coba Anda perhatikan kembali data usia 80 pengusaha yang diberikan sebelumnya. Jika Anda amati, berapa selisih nilai maksimum dan nilai minimum pada data tersebut? Jika peneliti ingin mengelompokkan data menjadi 7 kelompok/kelas, maka berapa panjang (rentangan) kelas yang dibutuhkan agar menjadi 7 kelas dengan panjang kelas yang sama? Dengan pembulatan, Anda akan mendapatkan panjang kelas yang dibutuhkan. Berdasarkan kegiatan-kegiatan sebelumnya, buatlah kesimpulan sementara tentang langkah-langkah pembuatan tabel distribusi frekuensi dan kegunaannya. Gunakan kesimpulan tersebut untuk membuat tabel distribusi frekuensi dari data berikut dengan banyak kelas sesuai yang Anda inginkan kemudian ceritakan atau maknai distribusi frekuensi yang diperoleh.
40Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.77 5 8 ( Berdasarkan data BMKG, suhu udara tertinggi kota Jakarta dalam derajat Celcius pada bulan September 2015 diberikan di bawah ini:33,6 34,0 34,6 33,9 33,4 33,0 32,4 33,2 34,4 35,034,2 35,2 35,5 35,6 35,2 34,2 35,0 35,4 35,4 35,035,3 35,2 35,6 36,2 37,0 34,4 34,6 33,0 35,0 35,2Sumber: www.bmkg.go.idTuliskan distribusi frekuensi yang diperoleh dan maknanya pada kotak yang disediakan berikut ini.Diskusikan dengan teman sebangku Anda mengenai kesimpulan sementara tentang pembuatan distribusi frekuensi, hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan distribusi frekuensi dan pemaknaannya. Jangan lupa untuk mendiskusikan juga Contoh 2.7 untuk memperjelas pemahaman Anda tentang distribusi frekuensi. Selanjutnya lakukan diskusi kelas untuk mendapatkan kesimpulan kelas dengan bimbingan dari guru Anda. Tuliskan secara individu kesimpulan yang diperoleh pada kotak yang disediakan.
Matematika41Kegiatan 2.1.2 Histogram, Poligon Frekuensi, dan OgiveSetelah mengelompokkan data ke dalam beberapa kelas menjadi distribusi frekuensi, Anda dapat menyajikan data berkelompok tersebut dalam bentuk
data kepada pembaca dalam bentuk gambar. Bagi kebanyakan orang, melihat informasi yang disajikan dari gambar lebih mudah daripada melihat dari dari kumpulan bilangan-bilangan pada tabel atau distribusi frekuensi. Hal ini juga berlaku bahkan untuk orang-orang yang tidak punya pengetahuan sebelumnya tentang statistika.
suatu data dengan lebih mudah dan untuk menganalisis lebih lanjut. Penyajian
!
'
digunakan untuk melihat perilaku (behaviour) atau tren dari data tersebut.\ !
presentasikan data berkelompok, yaitu:1. Histogram;2. Poligon frekuensi;^ _`
Pada bagian ini akan dibahas mengenai penyajian data berkelompok ke
Pada bagian ini diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi yang
V
Contoh Soal 2.8Distribusi frekuensi pada Tabel 2.1 menyajikan data berkelompok usia pengusaha dalam memulai usahanya. Distribusi frekuensi tersebut disajikan dibawah ini.
42Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKelasBatas KelasFrekuensi16 – 19 21 – 25 26 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,5191521169+
frekuensi tersebut. a. Histogram8% " %5 *
8%5FrekuensiUsia2015105015,5 18,0 20,5 23,0 25,5 28,0 30,5 33,0 35,5 38,0 40,5191521169 Histogram usia pengusaha
Matematika43b. Poligon frekuensi"
4 %FrekuensiUsia2220181614121018 23 28 33 38 Poligon frekuensi usia pengusahac. Ogive9: Frekuensi KumulatifUsia908070605040302010015,5 20,5 25,5 30,5 35,5 40,5 Ogive usia pengusaha
44Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.9Distribusi frekuensi pada Tabel 2.2 menyajikan tentang data berkelompok nilai ujian matematika suatu kelas. Distribusi yang diberikan adalah sebagai berikut.
% %
% 4 %41 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 10040,5 – 50,550,5 – 60,560,5 – 70,570,5 – 80,580,5 – 90,590,5 – 100,516911116'
frekuensi, dan ogive yang disajikan berikut ini.a. Histogram6% '
8# * FrekuensiNilai12108642040,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5 85,5 90,5 95,5 100,516911116 & Histogram nilai ujian mate matika
Matematika45b. Poligon frekuensi"
4 % '
8# * FrekuensiNilai12108642045,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,516911116 , Poligon frekuensi nilaiujian matematikac. Ogive9: '
8# * Frekuensi KumulatifNilai5040302010040,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,501716273844 - Ogive nilai ujian matematika
46Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDistribusi frekuensi pada Tabel 2.3 menyajikan data berkelompok berat badan balita yang datang pada suatu posyandu. Berikut histogram, polygon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi tersebut.
% %
% 4 %3,5 – 5,35,4 – 7,27,3 – 9,19,2 – 1111,1 – 12,93,45 – 5,355,35 – 7,257,25 – 9,159,15 – 11,0511.05 – 12,9539783a. Histogram
FrekuensiBerat Badan98765432103,45 4,40 5,35 6,30 7,25 8,20 9,15 10,10 11,05 12,00 12,953 9783 . Histogram berat badan balitaContoh Soal 2.10
Matematika47b. Poligon frekuensi"
4 %FrekuensiBerat Badan98765434,4 6,3 8,2 10,1 12 / Poligon frekuensi berat badan balitac. Ogive9: Frekuensi KumulatifBerat Badan3025201510503,45 5,35 7,25 9,15 11,05 12,95017162738 0 Ogive berat badan balita
48Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan pengamatan Contoh 2.8, Contoh 2.9, dan Contoh 2.10, tulislah informasi-informasi atau istilah matematika penting yang dapat Anda peroleh pada kotak yang disediakan berikut.Dengan mengamati Contoh 2.8 – 3.10, coba Anda buat beberapa
frekuensi, dan ogive. Tuliskan pertanyaan apapun yang terlintas di benak
malu terhadap guru maupun teman Anda. Pertanyaan yang Anda ajukan akan sangat membantu Anda dalam memahami materi yang bersangkutan. Tuliskan pertanyaan-pertanyaan Anda dalam kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Mudah-mudahan Anda menanyakan beberapa hal berikut ini.a. Bagaimana menggambarkan histogram, poligon frekuensi, dan ogive?b. Hal-hal apa saja yang perlu diperhatikan dalam membuat histogram, poligon frekuensi, dan ogive?c. Apa makna bilangan-bilangan pada sumbu-x dan sumbu-y pada poligon frekuensi?
Matematika49Jika Anda menanyakan diantaranya adalah hal-hal tersebut di atas, maka
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang Anda susun, Anda dapat melakukan kegiatan-kegiatan berikut. Anda juga dapat menggunakan sumber-sumber referensi lainnya seperti buku teks atau Internet untuk membantu Anda menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut.Jika Anda perhatikan, data yang sama dapat disajikan dalam dua bentuk penyajian yang berbeda yaitu penyajian dalam bentuk tabel (distribusi
q \
mempermudah pembaca dalam memaknai data. Selain itu penyajian data
! ! Sebagai contoh perhatikan histogram yang ditampilkan pada Contoh 2.8. Distribusi frekuensi dan histogram tersebut menyajian data yang sama, tetapi dengan melihat histogram sekilas kita dapat menarik kesimpulan tentang kelas yang paling banyak dan yang paling sedikit. Yang lebih penting lagi, kita juga dapat melihat perubahan (trend) dari kelas ke kelas dengan lebih mudah. Kelas dengan frekuensi terbanyak pada histogram tersebut adalah kelas dengan batas kelas 25,5 – 30,5. Perhatikan pada sumb-x tertera angka 28,0 di tengah selang kelas tersebut. Mereperesentasi apakah angka 28,0 pada kelas tersebut?Selain pada histogram, angka 28 juga muncul pada poligon frekuensi dari data dan kelas yang sama. Pada poligon frekuensi Contoh 2.8 muncul angka-angka yang lain yaitu 18, 23, 33, dan 38. Merepresentasi apakah angka-angka tersebut terhadap kelas-kelas yang diwakili?Perhatikan bahwa selisih dua angka yang mewakili kelas yang berurutan mempunyai selisih yang sama dengan pangjang kelas. Akibatnya jika angka yang mewakili salah satu kelas diketahui maka dengan mudah kita dapat menentukan angka-angka yang mewakili kelas-kelas yang lain.Perhatikan kelas pertama pada distribusi frekuensi pada Contoh 2.8. Kelas tersebut mempunyai batas bawah 15,5 dan batas atas 20,5 dengan panjang kelas 5. Angka yang mempresentasi kelas tersebut pada poligon frekuensi adalah 18. Angka 18 dapat diperoleh dari jumlah batas atas dan bawah kelas tersebut dibagi dengan 2, yaitu 18 = 15,5 20,52. Angka yang mewakili tersebut disebut
50Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdengan titik tengah (midpoint). Coba Anda periksa apakah angka-angka di sumbu-x pada poligon frekuensi Contoh 2.8 merupakan titik tengah dari masing-masing kelas. Selain itu, coba Anda periksa lebih lanjut bagaimana mendapatkan titik tengah suatu kelas jika titik tengah kelas tertentu sudah diketahui.Dengan demikian tentu Anda dapat membuat kesimpulan sementara bagaimana langkah-langkah mendapatkan histogram dan poligon frekuensi untuk suatu data berkelompok.Berbeda dengan histogram dan poligon frekuensi, ogive menyajikan data berkelompok dengan cara yang lain. Untuk mengetahui bagaimana menyajikan ogive, Anda perhatikan lebih lanjut distribusi frekuensi dan ogive yang disajikan pada Contoh 2.10. Merepresentasi apakah angka-angka yang dituliskan di sumbu-x pada ogive tersebut? Lalu mengapa frekuensi pada angka 5,35 adalah 3 sedangkan pada angka 7,25 mempunyai frekuensi 12? Dilain pihak, kelas dengan batas 3,45 – 5,35 mempunyai frekuensi 3 dan kelas dengan batas 5,35 – 7,25 mempunyai frekuensi 9. Dengan kenyataan tersebut, dapatkah Anda menjawab pertanyaan mengapa pada ogive tersebut frekuensi pada angka 11,05 adalah 27?{
maka dapat dikatakan Anda sudah memahami langkah-langkah pembuatan ogive suatu data berkelompok.Untuk lebih memahami bagaimana menyajikan data berkelompok dalam !
V *|'
Coba Anda diskusikan dengan teman sebangku Anda mengenai langkah-langkah pembuatan histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Selain itu, Anda
+
data atau lebih menampilkan sifat-sifat data dengan lebih baik. Tuliskan kesimpulan sementara hasil diskusi dalam kotak yang disediakan.
Matematika51! Tanpa disadari, mungkin kita punya kesalahpahaman mengenai statistika (statistical misconceptions). Salah satu yang banyak terjadi
histogram. Setelah belajar statistika (pengelompokan data dan
q sedikit demi sedikit kesalahpahaman tentang statistika. Banyak iklan produk yang menampilkan suatu data hasil survey dalam
{ ! !
+
tersebut disajikan dengan tidak benar maka tentu akibatnya kita dapat salah
Sebagai contoh sebuah iklan kosmetik menampilkan hasil survey terhadap
- V
berikut menampilkan berapa persentase konsumen yang memutuskan untuk kembali menggunakan paket yang sama dengan yang waktu dibeli pertama kali. " #
% 85848382A B C 2 Diagram batang penjualan kosmetik
52Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK"
paket kosmetik B jauh lebih dipilih oleh konsumen dari kedua produk lainnya. \
tanpa melihat skala pada sumbu-y. Jika diperhatikan dengan seksama, 83% konsumen kembali ke produk A, 85% kembali ke produk B, dan 84% kembali V
}*
%
di bawah ini." #
% PersentaseKosmetik9080706050403020100A B C83 8584 Diagram batang penjualan kosmetik Terlihat bahwa perbedaan antara ketiga produk tidak jauh. Masing-masing %~ mata secara sekilas jika pembaca tidak mengamati dengan seksama skala pada sumbu-y. Memotong skala pada sumbu-y sebenarnya bukanlah hal yang
!
!
{
seperti di bawah ini, maka apa yang dapat Anda simpulkan?
Matematika53" #
% A B C Diagram batang penjualan kosmetik tanpa skala#
kecuali urutan (rangking) dari A, B, dan C berdasarkan tinggi batang. Selain itu kita juga tidak mungkin mendapatkan informasi mengenai selisih persentase
Diskusikan kesimpulan sementara dengan teman sekelas Anda. Guru Anda akan memberikan kesempatan kepada minimal 5 siswa yang mau maju secara sukarela untuk mempresentasikan kesimpulan sementara di depan kelas. Diskusikan bersama hasil presentasi untuk mendapatkan kesimpulan akhir. Tuliskan kesimpulan akhir pada kotak yang disediakan berikut ini.
54Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK1. Berikut ini diberikan empat distribusi frekuensi. Setiap distribusi frekuensi yang diberikan terdapat kesalahan dalam penyusunannya. Sebutkan kesalahan masing distribusi frekuensi dan alasannya.a.
% 4 %27 – 3233 – 3839 – 4445 – 4950 – 5510642 c.
% 4 %123 – 127128 – 132138 – 142143 – 14737219b.
% 4 %5 – 99 – 1313 – 1717 – 2020 – 2412563 d.
% 4 %9 – 1314 – 1920 – 2526 – 2829 – 32162592. Distribusi frekuensi yang diberikan berikut mempresentasikan jumlah kendaraan roda empat terpilih dalam suatu kota yang menghabiskan bahan bakar bensin dalam jumlah tertentu (liter) setiap minggunya. Kolom kelas menyatakan jumlah bahan bakar bensin yang dihabiskan dalam 1 minggu sedangkan kolom frekuensi adalah banyaknya kendaraan roda empat.
% %
% 4 %5 – 89 – 1213 – 1617 – 2021 – 2425 – 284,5 – 8,58,5 – 12,512,5 – 16,516,5 – 20,520,5 – 24,524,5 – 28,5587152116Masalah 2.1
Matematika55Jawablah pertanyaan berikut ini.a. Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 4,5 liter?b. Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 8,5 liter?c. Lanjutkan untuk mencari banyak kendaraan yang kurang dari batas bawah kelas kemudian tuliskan pada tabel di bawah ini.4 %
;Kurang dari 4,5Kurang dari 8,5Kurang dari 12,5Kurang dari 16,5Kurang dari 20,5Kurang dari 24,5Kurang dari 28,5! Tabel di atas disebut distribusi frekuensi kumulatif3. Data berikut adalah data jumlah pengunjung perpustakaan SMA ”NASIONAL” dalam 40 hari kerja berturut-turut.50 65 60 71 55 82 76 70 80 6478 95 88 90 81 75 78 78 70 6885 67 74 86 59 63 84 66 75 8794 96 72 78 65 81 85 95 88 96Berdasarkan data tersebut, buatlaha. Distribusi frekuensi dengan 7 kelasb. Histogram, poligon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi poin (a).
56Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK4. Misalkan Anda adalah seorang pengusaha real estate di kota Masamba. Anda memperoleh daftar harga rumah yang sudah Anda jual dalam 6 bulan terakhir. Anda ingin mengorganisasi data yang Anda terima agar Anda dapat memberikan informasi yang akurat kepada calon pembeli. Gunakan data berikut ini untuk disajikan dalam histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Data berikut dalam puluhan ribu rupiah.142.000 127.000 99.600 89.000 93.000 99.500 162.00073.800 135.000 119.000 67.900 156.300 104.500 108.650123.000 91.000 205.000 110.000 156.300 104.000 133.900179.000 112.000 147.000 321.550 87.900 88.400 180.000159.400 205.300 144.400 163.000 96.000 81.000 131.000114.000 119.600 93.000 123.000 187.000 96.000 80.000231.000 189.500 177.600 83.400 77.000 132.300 166.000a. Pertanyaan-pertanyaan apa yang yang dapat dijawab dengan mudah dengan melihat histogram dibandingkan dengan daftar harga yang diberikan di atas?b. Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat poligon frekuensi dibandingkan dengan daftar harga tersebut?c. Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat ogive dibandingkan dengan daftar harga tersebut?d. Apakah ada data yang sangat besar atau sangat kecil dibandingkan dengan nilai lainnya?
lebih baik?5. Penelitian mengenai kebutuhan air minum bagi tubuh manusia dalam sehari sudah banyak dilakukan dan dipublikasikan. Carilah hasil penelitian tersebut dan ungkapkan berapa gelas atau liter air minum kebutuhan tubuh manusia. Kemudian kumpulkan data melalui wawancara terhadap minimal 40 teman Anda mengenai konsumsi air minum mereka sehari-hari (dalam satuan gelas atau liter). Jika data sudah terkumpul, maka lakukanlah kegiatan berikut.
Matematika57a. Buatlah distribusi frekuensi data yang sudah dikumpulkan (pilih salah satu satuan yang digunakan, yaitu gelas atau liter) dengan banyak kelas yang Anda tentukan sendiri.b. Buatlah histogram, poligon frekuensi, dan ogive dari distribusi yang didapatkan.c. Buatlah distribusi kumulatifnya. Subbab 2.2. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data BerkelompokKegiatan sebelumnya Anda dapat memperoleh informasi-informasi dari data mentah dengan mengolah data tersebut ke dalam distribusi
Anda akan mempelajari metode-metode statistika yang dapat digunakan untuk mendiskripsikan suatu data. Metode statistika yang paling umum digunakan adalah rata-rata. Sebagai contoh, dalam suatu artikel di koran online*, Erwin (2015) menyatakan bahwa Google melakukan wawancara online terhadap pemilik ponsel pintar di Indonesia antara usia 18 dan 64 tahun untuk mengetahui lebih baik mengenai perilaku mereka. Hasil wawancara yang dilansir Google menyatakan bahwa rata-rata aplikasi yang di-instal di Indonesia tahun 2015 adalah sebanyak 31 aplikasi per individu. Pada contoh di atas, istilah rata-rata yang digunakan masih tidak jelas karena ada berbagai macam rata-rata. Beberapa diantaranya adalah rata-rata hitung, rata-rata geometri, rata-rata harmonik. Rata-rata merupakan pusat distribusi atau yang paling sering terjadi. Ukuran rata-rata disebut juga dengan ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan yang akan dibahas pada bagian ini meliputi rata-rata (dalam hal ini rata-rata hitung), median, dan modus untuk data berkelompok.
58Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 2.2.1 Ukuran Pemusatan Data BerkelompokMasih ingatkah Anda bagaimana menentukan rata-rata, median, dan modus untuk data tunggal? Sebagai contoh, diberikan data ukuran sepatu yang dipakai 12 pemain basket SMA Nasional sebagai berikut.42 41 41 40 40 41 42 42 43 41 40 42Coba Anda tentukan rata-rata, median dan modus dari data tersebut. Dari ketiga ukuran pemusatan data tersebut, manakah yang paling sesuai merepresentasikan data tersebut menurut Anda?Lalu bagamanakah cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data yang berupa data berkelompok atau bahkan data yang disajikan dalam histogram? Berikut diberikan beberapa contoh data berkelompok sekaligus diberikan ukuran pemusatan datanya.Contoh Soal 2.11Data yang disajikan dalam distribusi frekuensi berikut merupakan data usia 50 orang terkaya di Indonesia.
% %
%4 %^〓^$^Y〓^40 – 4445 – 49Y〓Y$* Y〓^$ Y^$ Y〓^ Y39,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,55107208
- Distribusi Frekuensi usia 50 orang terkayaRata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia berdasarkan distribusi frekuensi di atas adalah 43,6 tahun. Selanjutnya kelas keempat (44,5 – 49,5) merupakan kelas median sekaligus juga merupakan kelas modus dengan mediannya adalah 45,25 dan modusnya adalah 47,1.
Matematika59Contoh Soal 2.12Data skor TOEFL siswa dalam suatu kelas diberikan dalam distribusi frekuensi berikut ini.
% %
%4 %350 – 374375 – 399400 – 424425 – 449450 – 474475 – 499500 – 524349,5 – 374,5374,5 – 399,5399,5 – 424,5424,5 – 449,5449,5 – 474,5474,5 – 499,5499,5 – 524,54356732
. Distribusi frekuensi skor TOEFLBerdasarkan distribusi frekuensi di atas, rata-rata skor TOEFL siswa dalam kelas tersebut adalah 433,7. Kelas keempat yaitu 424,5 – 449,5 merupakan kelas median dengan mediannya adalah 437. Kelas kelima merupakan kelas modus dengan modusnya adalah 454,5.Contoh Soal 2.13Berikut ini merupakan histogram yang menyajikan data tinggi badan 30 siswa terpilih kelas XII pada suatu sekolah.
60Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK 7%)
% <==>
?FrekuensiBerat Badan9876543210142 147 152 157 162 167 172264864 Histogram tinggi badan siswa kelas XIIBerdasarkan histogram tersebut, rata-rata tinggi badan siswa tersebut adalah 158,2. Kelas 157 – 162 merupakan kelas median sekaligus kelas modus, dengan median sebesar 158,9 dan modus sebesar 160,3.Berdasarkan hasil pengamatan yang Anda lakukan, catat istilah-istilah matematika atau informasi-informasi penting mengenai ukuran pemusatan data berkelompok di kotak yang disediakan berikut.
Matematika61Setelah mengamati Contoh 2.11 – 3.12, coba Anda buat pertanyaan-pertanyaan yang terlintas di benak Anda tentang rata-rata, median, dan modus untuk data berkelompok. Anda juga dapat menghubungkan tentang rata-rata, median, dan modus untuk data tunggal yang sudah Anda pelajari sebelumnya. Dengan membandingkan hasil pengamatan ketiga contoh di atas dengan pengetahuan yang Anda miliki sebelumnya untuk data tunggal memungkinkan Anda untuk mengajukan pertanyaan yang membantu Anda dalam memahami ukuran pemusatan data untuk data berkelompok. Tuliskan minimal 3 pertanyaan Anda dalam kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Hal yang perlu Anda ketahui untuk menentukan rata-rata pada data tunggal adalah banyak data yang biasa dilambangkan dengan n dan jumlah keseluruhan dari data tersebut. Jika banyak data yang dihadapi sedikit, tentu Anda dapat dengan mudah untuk menentukan rata-rata. Di lain pihak, jika data yang dihadapi berukuran besar, Anda perlu mengelompokkan data tersebut dalam beberapa kelompok untuk memudahkan mengetahui karakteristik data. Akibatnya, menentukan rata-rata untuk data yang sudah dikelompokkan tersebut berbeda dengan untuk data tunggal. Untuk menambah wawasan Anda mengenai ukuran pemusatan data untuk data berkelompok, Anda perhatikan contoh berikut ini.
62Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.14Berikut merupakan data usia 80 pengusaha dalam memulai usahanya yang sudah diberikan pada Contoh 2.1.18 24 19 28 30 19 35 40 23 2126 34 27 40 38 30 21 24 22 1832 17 18 21 26 33 35 20 28 2726 34 31 37 40 17 18 18 20 3316 20 18 36 35 24 39 19 31 3126 28 19 35 31 31 28 21 23 2620 24 24 29 30 30 26 29 28 2019 28 30 32 38 40 25 25 31 21Ketika data ini dikelompokkan menjadi 5 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi seperti di bawah ini.
% %
% 5 4 %16 – 2021 – 2526 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,51823283338191521169 Perhatikan bahwa kelas pertama mempunyai titik tengah 18. Ini artinya bahwa data yang masuk dalam kelas pertama bisa kurang dari 18 atau lebih dari 18. Akibatnya jumlah data pada kelas pertama dapat didekati (aproksimasi) sebesar 342. Jumlah data keseluruhan dengan pendekatan sebesar 2145, sehingga rata-rata untuk data berkelompok di atas adalah 26,8 tahun. Jika Anda hitung rata-rata untuk data tunggal di atas, apa yang Anda peroleh? Bagaimana hasilnya jika Anda bandingkan dengan rata-rata untuk data berkelompok? Tuliskan pada kotak di bawah ini.
Matematika63Menentukan median dan modus untuk data berkelompok hampir sama dengan menentukan rata-rata, yaitu yang akan ditentukan berupa perkiraan (pendekatan). Berdasarkan frekuensi setiap kelas, Anda dapat menentukan lokasi atau pada selang mana median berada yang disebut dengan kelas median dan juga dapat menentukan kelas modus dengan mempertimbangkan frekuensi setiap kelas. Dengan memperhatikan fakta tersebut, tentukan kelas median dan kelas modus pada distribusi frekuensi di atas. Tuliskan jawaban Anda pada kotak yang disediakan dan tuliskan bagaimana caranya untuk mendapatkan kedua kelas tersebut.Di lain pihak, jika data dikelompokkan menjadi 7 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi berikut ini.
% %
% 5 4 %16 – 1920 – 2324 – 2728 – 3132 – 3536 – 3940 – 43Dengan melengkapi tabel distribusi frekuensi di atas, coba Anda tentukan perkiraan jumlah data pada setiap kelas sekaligus perkiraan jumlah data keseluruhan. Kemudian dengan mempertimbangkan banyak data, dapatkah Anda memperkirakan rata-rata dari data berkelompok tersebut? Tentukan pula kelas median dan kelas modus. Selanjutnya, dengan data yang sama tetapi distribusi frekuensi yang berbeda apa yang dapat Anda simpulkan mengenai rata-rata, kelas median, dan kelas modus dari kedua distribusi frekuensi di atas?
64Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKTuliskan jawaban Anda pada kotak berikut ini.Ukuran pemusatan data (rata-rata, median, modus) untuk data berkelompok secara prinsip sama dengan ukuran pemusatan data untuk data tunggal. Dari langkah-langkah pengamatan dan penggalian informasi mungkin Anda sudah tahu perbedaan ukuran pemusatan data untuk data tunggal dan data berkelompok. Ukuran pemusatan untuk data tunggal dapat ditentukan dengan pasti, tetapi ukuran pemusatan untuk data berkelompok ditentukan dengan perkiraan atau pendekatan.Untuk mengetahui lebih lanjut bagaimana cara menentukan ukuran pemusatan untuk data berkelompok, lakukan beberapa kegiatan berikut ini.2.2.1.1 Rata-rataBerikut ini diberikan distribusi frekuensi pada Contoh 2.11. Lengkapi tabel berikut ini untuk menentukan rata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia.
% %
% 5 >xi? 4 % >fi?xi . fi30 – 3429,5 – 34,5535 – 3934,5 – 39,51040 – 4439,5 – 44,5745 – 4944,5 – 49,52050 – 5449,5 – 54,58
Matematika65Telah diketahui sebelumnya bahwa rata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia adalah 43,6 tahun. Dengan mengamati tabel di atas, bagaimana caranya bisa didapatkan hasil 43,6? Tuliskan rumus untuk menentukan rata-rata data berkelompok menurut Anda dalam kotak yang tersedia di bawah ini.2.2.1.2 MedianLengkapi tabel berikut ini untuk mengetahui lebih lanjut cara menentukan median data berkelompok. Distribusi frekuensi yang digunakan adalah distribusi frekuensi pada Contoh 2.11.
% %
% % )5 (Li?"#
% (p?4 % (fi?Fi12iinFfLi A 12iinFfp30 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 5429,5 – 34,534,5 – 39,539,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,5510720805 Fi : jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas ke-i.n : banyak dataTelah diketahui sebelumnya bahwa median dari distribusi frekuensi tersebut adalah 45,25. Berdasarkan tabel yang sudah dilengkapi di atas, bagaimana menurut Anda cara menentukan median? Kelas manakah yang
66Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdigunakan sebagai median? Mengapa? Tuliskan jawaban Anda termasuk rumus median di kotak yang sudah disediakan.2.1.3 ModusLengkapi tabel berikut untuk mengetahui cara menentukan modus data ber-kelompok.
% %
% % )5 (Li?"#
% >p?4 % (fi?d1d2Li + p(112ddd?30 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 5429,5 – 34,534,5 – 39,539,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,5510720805120 d1 : selisih frekuensi kelas ke-i dengan kelas sebelumnyad2 : selisih frekuensi kelas ke-i dengan kelas berikutnyaTelah diketahui sebelumnya bahwa modus usia 50 orang terkaya di Indonesia adalah 47,1 tahun. Berdasarkan tabel yang sudah dilengkapi di atas, kelas manakah yang sesuai dengan hasil tersebut? Dapatkah Anda simpulkan bagaimana menentukan modus data berkelompok sekaligus dengan rumusnya? Tuliskan jawaban Anda dalam kotak berikut ini.
Matematika67Dari rumus rata-rata, median, dan modus yang telah Anda dapatkan, coba Anda cek kebenaran rumus tersebut dengan menggunakannya pada Contoh 2.12 dan Contoh 2.13.Sedikit InformasiUkuran pemusatan atau ukuran penyebaran suatu data yang diperoleh dari populasi disebut dengan parameter, sedangkan jika datanya berasal dari sampel maka disebut dengan statistik. Sehingga rata-rata suatu data yang diperoleh dari suatu populasi merupakan parameter dan dilambangkan dengan . Rata-rata suatu data yang diperoleh dari sampel yang mewakili populasi merupakan statistik yang dilambangkan dengan x. Sebagian orang mungkin mempunyai kesalahpahaman mengenai rata-rata. Jika ada yang mengatakan ”rata-rata gaji buruh di Indonesia adalah Rp2.500.000,00” maka sebenarnya kita tidak bisa langsung mengetahui bahwa rata-rata yang digunakan adalah rata-rata hitung seperti yang kita tentukan rumusnya sebelumnya. Rata-rata mempunyai banyak jenis, di antaranya adalah rata-rata hitung, rata-rata geometri, dan rata-rata harmonik yang besarannya dimungkinkan tidak sama antar rata-rata tersebut. Anda diskusikan hasil yang Anda dapatkan dengan teman sebangku Anda. Guru Anda akan menunjuk beberapa siswa untuk menuliskan hasil yang diperoleh di papan tulis. Diskusikan hasil tersebut dengan teman sekelas Anda untuk mendapatkan kesimpulan kelas. Tuliskan kesimpulan Anda dikotak yang sudah disediakan dibawah ini.
68Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok Mengetahui hanya rata-rata dari suatu data tidak cukup untuk mendeskripsikan data sepenuhnya. Anda juga perlu mengetahui bagaimana penyebaran data. Sebagai contoh, seorang penjual sepatu olah raga di suatu daerah telah mengetahui bahwa rata-rata ukuran sepatu olah raga yang laris adalah ukuran 40. Penjual sepatu tersebut tidak akan bertahan lama dalam penjualan sepatu olah raga ini jika dia menjual sepatu hanya ukuran 40. Walaupun dia mengetahui rata-rata ukuran sepatu pembeli di daerah tersebut, dia juga perlu mengetahui bagaiamana data menyebar, yaitu apakah datanya mendekati rata-rata ataukah menyebar merata. Ukuran yang menentukan penyebaran data disebut dengan ukuran penyebaran data. Untuk data berkelompok, ukuran penyebaran data meliputi simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam. Anda mungkin masih ingat bagaimana menentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam untuk data tunggal. Secara prinsip cara menentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam untuk data tunggal hampir sama dengan untuk data berkelompok. Berikut akan diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi suatu populasi disertai dengan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam. Contoh Soal 2.15Data yang disajikan berikut merupakan data pendapatan netto 45 perusahaan besar di Indonesia dalam milyar rupiah.
%4 %10 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103
Matematika69Ukuran penyebaran pada data berkelompok di atas dapat dihitung, yaitu simpangan rata-rata adalah 12,4 dan simpangan bakunya adalah 14,6. Selanjutnya ragam dari data ini adalah 212,3.Contoh Soal 2.16\
dalam kilometer per liter. Distribrusi frekuensi yang didapatkan disajikan berikut ini.
%4 %7,5 – 12,512,5 – 17,517,5 – 22.522,5 – 27,527,5 – 32,5351552Dari distribusi di atas didapatkan simpangan rata-rata 3,5, simpangan baku sebesar 5,1 dan ragam sebesar 25,7Di bawah ini diberikan histogram pada Contoh 2.10 yang menyajikan berat badan 30 balita (dalam kilogram) yang datang pada posyandu di suatu daerah.Contoh Soal 2.17
FrekuensiBerat Badan98765432103,45 4,40 5,35 6,30 7,25 8,20 9,15 10,10 11,05 12,00 12,9539783
70Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan histogram tersebut dapat ditentukan ukuran penyebaran datanya, yaitu simpangan rata-rata sebesar 1,85, simpangan baku sebesar 2,26 dan ragam sebesar 5,09.Informasi-informasi atau istilah matematika penting dari hasil pengamatan mengenai ukuran penyebaran data berkelompok dapat dituliskan dalam kotak yang disediakan berikut.Berdasarkan pengamatan Anda terhadap ketiga contoh yang diberikan sebelumnya, buatlah beberapa pertanyaan tentang ukuran penyebaran data berkelompok. Tuliskan pertanyaan Anda dalam kotak yang tersedia di bawah ini.
Matematika71Mengetahui ukuran pemusatan data seperti rata-rata, median atau modus saja tidak cukup bagi seorang peneliti untuk mendeskripsikan data lebih rinci. Seorang peneliti tentu memerlukan informasi bagaimana data menyebar, yaitu bagaimana kondisi data dibandingkan dengan rata-rata yang diperoleh. Informasi mengenai apakah semua data dekat dengan rata-rata atau bahkan datanya jauh dari rata-rata (menyebar secara merata) sangat dibutuhkan oleh penggunan data dalam penarikan kesimpulan.Pada pengamatan sebelumnya diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi yang disertai dengan ukuran penyebarannya. Berikut ini diberikan contoh lainnya yang dapat Anda gunakan untuk lebih memahami ukuran penyebaran data dan bagaimana menentukannya.Contoh Soal 2.18Berikut ini merupakan distribusi frekuensi dari nilai ujian akhir 100 mahasiswa jurusan matematika yang terpilih di suatu universitas.
%4 %66 – 7273 – 7980 – 8687 – 9394 – 10061839289 Dengan menggunakan pengetahuan sebelumnya bahwa penyebaran data dibandingkan dengan rata-rata, coba Anda tentukan rata-rata dari distribusi frekuensi di atas dan tuliskan hasilnya dalam kotak di bawah ini.
72Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKRata-rata suatu data berkelompok ditentukan dengan memperhatikan titik tengah setiap kelas dan frekuensinya masing-masing. Simpangan rata-rata memperhatikan bagaiamana data menyimpang dari rata-rata. Berdasarkan hal tersebut, coba Anda buat kolom tambahan dari distribusi frekuensi di atas yang berisikan selisih titik tengah tiap kelas dengan rata-rata. Selanjutnya perhatikan hasil selisih tersebut. Sebagai ilustrasi, selisih titik tengah kelas pertama dengan rata-rata adalah 2, ini berarti setiap datum pada kelas tersebut diasumsikan mempunyai selisih 2 dengan rata-rata. Akibatnya banyak datum dalam kelas tersebut (frekuensi) juga menentukan simpangan datum dalam suatu data terhadap rata-ratanya.Berdasarkan proses tersebut, dapatkah Anda menduga bagaimana cara menentukan simpangan rata-rata? Tuliskan dugaan Anda dalam kotak di bawah ini.Ukuran penyebaran berupa ragam dan simpangan baku prinsipnya sama dengan simpangan rata-rata yaitu memperhatikan selisih rata-rata dengan titik tengah tiap kelas. Jika Anda perhatikan dari ketiga contoh pada pengamatan, apa yang dapat Anda simpulkan mengenai hubungan antara ragam dan simpangan baku? Coba diskusikan dengan teman sebangku Anda tentang hubungan simpangan baku dan ragam. Dengan hubungan yang ditemukan tersebut maka memudahkan Anda dalam menentukan keduanya. Simpangan baku dapat ditentukan dengan mudah jika ragam ditemukan dan sebaliknya juga berlaku. Karena ukuran penyebaran pada data berkelompok prinsipnya mirip dengan untuk data tunggal, coba Anda tuliskan dalam kotak di bawah ini bagaimana cara menentukan ragam dan simpangan baku untuk data tunggal.
Matematika732.2.2.1 Simpangan Rata-rataDengan menggunakan distribusi frekuensi pada Contoh 2.15, coba lengkapi tabel di bawah ini untuk mengetahui cara menentukan simpangan rata-rata.
% 4 % 5|xi B |fi xifi C xi B |10 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103Total : rata-rataUntuk mendapatkan hasil simpangan rata-rata 12,4, kolom atau sel mana saja yang digunakan? Setelah mendapatkan dugaan rumus simpangan rata-rata, buatlah tabel yang sama dengan di atas untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17. Tentukan simpangan rata-rata dari tabel yang Anda buat untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17 dan cocokkan hasil yang Anda dapatkan dengan hasil pada kedua contoh tersebut. Tuliskan hasil dugaan rumus simpangan rata-rata untuk data berkelompok dalam kotak di bawah ini.
74Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK2.2.2.2 Simpangan Baku dan RagamAnda sudah mempelajari sebelumnya mengenai hubungan simpangan baku dan ragam sehingga penentuan salah satu statistik akan menghasilkan pula statistik satunya. Lengkapi tabel berikut ini untuk mengetahui lebih lanjut rumus simpangan baku dan ragam. Distribusi frekuensi yang digunakan adalah distribusi frekuensi pada Contoh 2.15.
% 4 % >fi? 5 (xi?fi . xixi2fi . xi210 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103TotalBerdasarkan tabel di atas, hitunglah berikut ini.2112kkiiiiiifxfxn =22112kkiiiiiifxfxn =2211(1)kkiiiiiifxfxnn =2211(1)kkiiiiiinfxfxnn =22112kkiiiiiinfxfxn =
Matematika75Berdasarkan beberapa rumus tersebut, manakah yang sesuai dengan hasil pada Contoh 2.15? Jika Anda sudah mempunyai dugaan rumus untuk ragam, maka buatlah dugaan rumus untuk simpangan baku. Tuliskan pengertian ragam dan simpangan baku sekaligus rumusnya di bawah ini.Untuk mengecek kebenaran dugaan Anda tentang ragam dan simpangan baku, buatlah tabel yang sama dengan di atas untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17. Kemudian cocokkan hasil yang Anda dapatkan dengan hasil pada kedua contoh tersebut.Diskusikan ukuran penyebaran data berkelompok yang Anda dapatkan dengan teman sebangku Anda. Diskusikan pula hasilnya dengan teman sekelas Anda untuk mendapatkan kesimpulan kelas. Diskusi dan berpendapat yang santun untuk mendapatkan hasil yang maksimal. Tuliskan kesimpulan Anda pada kotak di bawah ini.
76Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK1. Berikut merupakan data jumlah protein yang terkandung dalam beberapa macam makanan cepat saji yang terpilih. 23 30 20 27 44 26 35 20 29 2925 15 18 27 19 22 12 26 34 1527 35 26 43 35 14 24 12 23 3140 35 38 57 22 42 24 21 27 33a. Hitunglah rata-rata, median, dan modus dari data tersebut.b. Buatlah distribusi frekuensi data tersebut dengan 5 kelas.c. Hitung rata-rata, median, dan modus dari data yang sudah dikelompokkan pada poin (b)d. Bandingkan ukuran pemusatan pada poin (a) dan (c). Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai hasil tersebut?2. Berikut merupakan distribusi frekuensi persentase penduduk usia di bawah 25 tahun yang menyelesaikan studi sarjananya selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran pemusatan data berkelompok tersebut." % % 4 %15,2 – 19,619,7 – 24,124,2 – 28,628,7 – 33,133,2 – 37,637,7 – 42,142,2 – 46,6315196701Masalah 2.2
Matematika773. Jelaskan ukuran pemusatan apa yang digunakan (rata-rata, median, modus) untuk situasi di bawah ini.a. Setengah dari jumlah pekerja di suatu pabrik dapat memperoleh lebih dari Rp20.000,00 per jam dan setengahnya yang lain memperoleh kurang dari Rp20.000,00 per jam.b. Rata-rata jumlah anak dalam suatu keluarga di suatu kompleks perumahan adalah 1,8.c. Sebagian besar orang lebih memilih mobil warna hitam dibandingkan dengan warna-warna lainnya.d. Ketakutan yang paling umum terjadi saat ini adalah ketakutan berbicara di depan umum.e. Rata-rata usia dosen perguruan tinggi adalah 42,3 tahun.4. Delapan puluh baterai merk tertentu dipilih secara acak untuk dievaluasi daya hidup baterai dalam jam. Distribusi frekuensi yang diperoleh adalah sebagai berikut." % % 4 %62,5 – 73,573,5 – 84,584,5 – 95,595,5 – 106,5106,5 – 117,5117,5 – 128,55141825126a. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku dan ragamb. Dapatkah disimpulkan bahwa daya hidup baterai merk tertentu tersebut konsisten? Jelaskan.
78Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK5. Distribusi frekuensi di bawah ini merupakan persentase siswa sekolah dasar kelas 2 yang mempunyai kemampuan baca dan kemampuan matematika di atas batas yang sudah ditentukan di 50 kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran penyebaran dari kedua disribusi frekuensi berikut dan bandingkan hasilnya." % % 4 % + 4 % + * 17,5 – 22,522,5 – 27,527,5 – 32,532,5 – 37,537,5 – 42,542,5 – 47,57614193159111681
Matematika79Uji Kompetensi1. Berikut merupakan daftar berat badan 50 pemain top NBA dalam pound. Buat distribusi frekuensi dengan 8 kelas. Analisis hasil distribusi frekuensi mengenai nilai-nilai ekstrim, kelas terbanyak, kelas dengan frekuensi paling sedikit, dan sebagainya. (1 pound = 0,453 kg).240 210 220 260 250 195 230 270 325 225165 295 205 230 250 210 220 210 230 202250 265 230 210 240 245 225 180 175 215215 235 245 250 215 210 195 240 240 225260 210 190 260 230 190 210 230 185 2602. Buat distribusi frekuensi dengan 7 kelas untuk data nilai tes TOEFL siswa kelas bahasa suatu sekolah yang diberikan berikut ini. Kemudian jawab pertanyaan-pertanyaan berikutnya.350 540 495 455 400 520 513 485460 505 375 380 550 475 450 390495 470 510 465 398 497 450 440395 465 470 440 520 492 524 380390 425 475 435 550 545 445 458a. Untuk kelas dengan frekuensi terbanyak, tentukan persentase frekuensinya terhadap jumlah keseluruhan siswa.b. Untuk kelas dengan frekuensi paling sedikit, tentukan persentase frekuensinya terhadap jumlah keseluruhan siswa.c. Lanjutkan langkah ini untuk kelas lainnya. Buat kolom tambahan di sebelah kanan berisikan persentase setiap kelasnya. d. Ceritakan hasil distribusi frekuensi yang diperolehDistribusi frekuensi yang Anda dapatkan disebut dengan distribusi frekuensi relatif.3. Seratus pendaftar seleksi masuk perguruan tinggi di suatu universitas dipilih secara acak sehingga didapatkan distribusi frekuensi nilai tes berikut ini. Buatlah histogram, poligon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi ini.
80Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
%4 %90 – 9899 – 107108 – 116117 – 125126 – 13462040268Pendaftar yang nilainya di atas 107 tidak perlu ikut dalam program matrikulasi. Dalam kelompok ini ada berapa pendaftar yang tidak perlu ikut dalam program matrikulasi?4. Beberapa kota besar di Indonesia yang terpilih diuji kualitas udaranya dari polusi. Berikut merupakan data jumlah hari di mana kota-kota tersebut dideteksi mempunyai kualitas udara yang buruk pada tahun 2010 dan 2015. Buatlah distribusi frekuensi dan histogram untuk masing-masing tahun dan bandingkan hasilnya.20102015432038142376005125155637331417814006709531025920451017311413110519101458820202019192015127113820641622125. Jumlah protein dalam beberapa macam makanan cepat saji diberikan di bawah ini. Buatlah distribusi frekuensi dengan 6 kelas kemudian sajikan dalam histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Deskripsikan histogram yang diperoleh.23 30 20 27 44 26 35 20 29 2925 15 18 27 19 22 12 26 34 1527 35 26 43 35 14 24 12 23 3140 35 38 57 22 42 24 21 27 33
Matematika816. Diberikan distribusi frekuensi untuk jumlah komisi (dalam puluhan ribu) yang diterima 100 salesman yang dipekerjakan di beberapa cabang perusahaan besar. Tentukan rata-rata, median, dan modus untuk distribusi frekuensi ini." % % 4 %150 – 158159 – 167168 – 176177 – 185186 – 194195 – 203204 – 2125162021201537. Pengelola restoran cepat saji di suatu kota besar menyatakan bahwa rata-rata gaji karyawannya adalah Rp18.000,00 per jam. Seorang karyawannya menyatakan bahwa kebanyakan karyawan di restoran tersebut menerima gaji minimal. Jika kedua orang tersebut jujur atas pernyataannya, jelaskan bagaimana ini bisa terjadi. 8. Distribusi frekuensi di bawah ini menyajikan persentase penduduk usia di bawah 25 tahun yang menyelesaikan studi sarjana tepat 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran penyebaran dari distribusi frekuensi tersebut." % % 4 %15,2 – 19,619,7 – 24,124,2 – 28,628,7 – 33,133,2 – 37,637,7 – 42,142,2 – 46,6315196701
82Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK9. Dua puluh pelari dipilih secara acak untuk dilihat jumlah kilometer pelari tersebut lari dalam seminggu. Berikut merupakan distribusi frekuensi yang dihasilkan. %
%4 %5,5 – 10,510,5 – 15,515,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,51235432a. Tentukan ukuran pemusatan distribusi frekuensi di atasb. Tentukan ukuran penyebarannyac. Deskripsikan perilaku data tersebut terhadap rata-rata berdasarkan ukuran penyebarannya.10. Berikut merupakan distribusi frekuensi kumulatif data suhu udara tertinggi (dalam derajat Fahrenheit) yang tercatat di 50 kota besar di Indonesia. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam.4 %
;Kurang dari 99,5Kurang dari 104,5Kurang dari 109,5Kurang dari 114,5Kurang dari 119,5Kurang dari 124,5Kurang dari 129,5Kurang dari 134,502102841484950